Question

【题目】已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1﹣x）． （Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）判断函数f（x）+g（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要函数有意义，则 ∴﹣1＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣1，1）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1﹣x）=lg（1﹣x2）．
由（1）得函数定义域关于原点对称
又F（﹣x）=F（x），
∴函数F （x）是偶函数．
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数，
理由如下：
设x1、x2∈（0，1），x1＜x2 ，
则 ，即 ＞1，
∴F （x1）﹣F（x2）=lg（1﹣x12）﹣lg（1﹣x22）=lg ＞0．
即F （x1）＞F（x2）
∴F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数
【解析】（Ⅰ）由 可得函数f（x）+g（x）的定义域；（Ⅱ）根据F（﹣x）=F（x），可得：函数F （x）是偶函数（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数，作差可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．