Question

设函数f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
（1）当a=1时，证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求正数a的范围；
（3）在（1）的条件下，设数列{a_n} 满足：0＜an＜1，且a _n+1=f（an），求证0＜a _n+1＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，求出函数的导数，证明函数的导数在（0，+∞）上大于0恒成立，即可说明函数是增函数；
（2）y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，故其导数在（0，+∞）上恒大于0，由此不等式求正数a的范围；
（3）本题中的不等式与自然数有关，此类不等式一般采用数学归纳法证明，故有数学归纳法的做题步骤证明0＜a _n+1＜a_n＜1．

解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=

1

2

x2-1+cosx，g（x）=f′（x）=x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
h（x）=f′（x）=ax-sinx
若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
则f′（x）=ax-sinx＞0恒成立…（5分）
当a≥1时，对任意x∈（0，+∞），
恒有ax≥x＞sinx，此时f′（x）=ax-sinx＞0
所以y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数
当0＜a＜1时，h′（x）=a-cosx
令导数h′（x）=0
得cosx=a在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
当x∈（0，x₀），h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f′（0）=0
这与y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数即f′（x）=ax-sinx＞0
恒成立矛盾，所以a≥1
（3）由（1）当0＜x＜1，0=f（0）＜f（x）＜F（1）=-

1

2

+cos1＜1
当0＜a₁＜1，a₂=f（a₁）∈（0，1），假设0＜a_k＜1，则a_k+1=f（a_k）∈（0，1），
又a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n，
因为a_n-

1

2

a_n²+1∈（1，

3

2

），cos1＜cosa_n＜1所以
a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n＞0，即a_n＞a_n+1，
所以0＜a _n+1＜a_n＜1

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是了解导数的符号与函数单调性的关系，且能根据这一关系证明单调性，及根据它建立不等式求参数，本题中第三小题用到了数学归纳法证明不等式，要注意数学归纳法的步骤．本题运算过程较长，运算量较大，解题时要严谨认真，避免运算出错导致解题失败．