Question

已知命题p：“方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程

x2

2-k

+

y2

k

=1表示双曲线”．
（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；
（2）若q是真命题，求实数k的取值范围；
（3）若“p∨q”是真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）p是真命题，则9-k＞k-1＞0；（2）q是真命题，则（2-k）k＜0；（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，分类讨论即可．

解答：解：（1）p：“方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆”，是真命题，则9-k＞k-1＞0，∴1＜k＜5；
（2）q：“方程

x2

2-k

+

y2

k

=1表示双曲线”是真命题，则（2-k）k＜0，∴k＜0或k＞2
（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，即一真一假或全为真
∴

1＜k＜5 0≤k≤2

或

k≤1或k≥5 k＜0或k＞2

或

1＜k＜5 k＜0或k＞2

∴1＜k≤2或k＜0或k≥5或2＜k＜5
∴k＜0或k＞1．

点评：本题考查命题真假的运用，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．