Question

【题目】已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．

（1）求动点P的轨迹Ω的方程；

（2）若椭圆上点（x0，y0）处的切线方程是：

①过直线l：x＝4上一点M引Ω的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N；

②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN||QN|？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（y≠0）；（2）①见解析②存在，

【解析】

(1)设,再根据斜率之积列式求解即可.

(2)①根据题中所给的切线方程,设,进而求得过的切线方程,再代入坐标即可求得的直线方程,再分析定点即可.

②由①有,代入椭圆方程求得交点关于纵坐标的韦达定理,进而表达出的关系式,再化简求解即可.

（1）设P（x,y）,由题意kPAkPB,整理得：（y≠0）,

所以动点P的轨迹Ω的方程：（y≠0）；

（2）①设切点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,由题意设M（4,t）,则切线方程分别是：,1,

因为两条切线过M点,则x11,x21,

即P,Q的坐标满足方程：xy＝1,而两点确定唯一的直线,

所以直线PQ的方程：xy＝1,

显然对任意的t值,点（1,0）都适合,

所以直线PQ恒过定点N（1,0）；

②将直线PQ方程：xy+1代入椭圆中整理得：3（1）2+4y2﹣12＝0,

即（12+t2）y2﹣6ty﹣27＝0

∴y1+y2,y1y2,设y1＞0,y2＜0,

因为|PN|y1,

同理|QN|,

所以

.

即|PN|+|QN||PN||QN|

故存在实数,使得|PN|+|QN|＝λ|PN||QN|恒成立.