Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F₁（-c，0）是左焦点，圆x²+y²=c²与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF₁与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 设直线PF的方程为y=k（x+c），由直线和圆相交，可得k不为0，求得圆和双曲线的交点P，运用两点的斜率公式，由题意可得k＜$\frac{b}{a}$，解不等式可得b＞2a，结合离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：设直线PF₁的方程为y=k（x+c），即kx-y+kc=0，
由直线和圆有交点，可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜c，
解得k≠0．
联立圆x²+y²=c²与双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得交点P，设为（-$\frac{a}{c}$$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$）．
可得k=$\frac{\frac{{b}^{2}}{c}}{-\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}+c}$＞0，
由题意可得k＜$\frac{b}{a}$，
结合a²+b²=c²，
a$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$＜c²-ab，
化简可得b＞2a，即有b²＞4a²，
可得c²＞5a²，
即有e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{5}$．
故答案为：（$\sqrt{5}$，+∞）

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线和圆相交的条件：d＜r，考查联立圆方程和双曲线的方程求得交点，运用直线PF的斜率小于渐近线的斜率是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．