Question

17．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M为侧棱PC的中点．
（1）求异面直线AM与PB所成角；
（2）求直线AM与平面BPC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PB}$的向量坐标，利用向量的数量积直接求解异面直线AM与PB所成角的大小．
（2）求出平面BPC的法向量，AM的向量，利用空间向量的数量积以及直线和平面所成角的定义进行求解即可．

解答 解：（1）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），M（1，2，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{PB}$=（1，2，1）•（2，0，-2）=1×2-1×2=0，
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{PB}$，则AM⊥PB，
∴异面直线AM与PD所成角为90°．
（2）设平面BPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BC}=（0，4，0），\overrightarrow{BP}=（-2，0，2）$，并且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4y=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$，令x=1得z=1，y=0，
∴平面MBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线AM与平面BPC所成角为θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AM与平面BPC所成角的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间异面直线所成角以及直线和平面所成角的大小的计算，建立坐标系，利用向量法以及向量的数量积是解决本题的关键．考查转化思想以及计算能力．