Question

6．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=$\frac{π}{3}$，c=2．当$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取得最大值时，$\frac{b}{a}$的值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理用A表示出b，代入$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2bcosA，根据三角恒等变换化简得出当$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取最大值时A的值，再计算sinA，sinB得出答案．

解答 解：∵C=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}$-A，
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2cosA+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=bccosA=2bcosA=4cos²A+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin2A
=2+2cos2A+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin2A
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）+2
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+2，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴当2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即A=$\frac{π}{12}$时，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取得最大值，
此时，B=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{7π}{12}$
∴sinA=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
sinB=sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{3}$．
故答案为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角恒等变换，属于中档题．