Question

16．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF=2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．
（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点D，连接GD，CD，
又GB=GF，所以AF=2GD．
因为AF∥CE且AF=2CE，所以GD平行且等于CE，四边形GDCE是平行四边形，
所以CD∥EG因为EG?平面ABC，CD?平面ABC
所以EG∥平面ABC．
（Ⅱ）解：因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC
因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$
令y=1，则z=-2，x=-2，所以$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2），所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{2}{2•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{1}{3}$，
由题知二面角E-BF-A为钝角，所以二面角E-BF-A的余弦值为-$\frac{1}{3}$．
（Ⅲ）解：因为$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2）•（2，2，1）=-20≠0，所以BF与AE不垂直，
所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键．