Question

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$cos（{A-\frac{π}{3}}）=2cosA$．
（1）若b=2，△ABC面积为$3\sqrt{3}$，求a；
（2）若$cos2C=1-\frac{a^2}{{6{b^2}}}$，求角B的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出A，根据b=2，△ABC面积为$3\sqrt{3}$，利用三角形的面积公式、余弦定理求a；
（2）若$cos2C=1-\frac{a^2}{{6{b^2}}}$，得$tan2B=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即可求角B的大小．

解答 解：（1）因为$cos（{A-\frac{π}{3}}）=2cosA$，
得$cosAcos\frac{π}{3}+sinAsin\frac{π}{3}=2cosA$，
即$sinA=\sqrt{3}cosA$，因为A∈（0，π），且cosA≠0，
所以$tanA=\sqrt{3}$，所以$A=\frac{π}{3}$.${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2c\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，c=6，
由余弦定理${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA={2^2}+{6^2}-2×2×6×\frac{1}{2}=28$，$a=2\sqrt{7}$．
（2）由$cos2C=1-\frac{a^2}{{6{b^2}}}$得$1-2cosC=2{sin^2}C=\frac{a^2}{{6{b^2}}}$，$sinC=\frac{a}{{2\sqrt{3}a}}=\frac{sinA}{{2\sqrt{2}sinB}}$，$sinBsinC=\frac{1}{4}$，$sinBsin（{B+\frac{π}{3}}）=\frac{1}{2}{sin^2}B+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinBcosB=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}（{1-cos2B}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2B=\frac{1}{4}$，$cos2B=\sqrt{3}sin2B$，
得$tan2B=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵$2B∈（{0，\frac{4π}{3}}）$，∴$2B=\frac{π}{6}$或$2B=\frac{7π}{6}$得$B=\frac{π}{12}$或$B=\frac{7π}{12}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查二倍角公式的运用，属于中档题．