Question

14．已知四棱锥P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}=（{4，-2，3}）$，$\overrightarrow{AD}=（{-4，1，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，则点P到底面ABCD的距离为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{26}}}{13}$
• B． $\frac{{\sqrt{26}}}{26}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出平面ABCD的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．

解答 解：四棱锥P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}=（{4，-2，3}）$，$\overrightarrow{AD}=（{-4，1，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，设平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4x-2y+3z=0}\\{-4x+y=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=3，则y=12，z=4，
可得$\overrightarrow{n}$=（3，12，4）；
则$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h，
所以h=|$\overrightarrow{AP}$||cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|-18+24-32|}{13}$=2；
所以该四棱锥的高为2．
故选：D．

点评 本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．