Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=2cosAsinB．
（1）求tanA；
（2）若$b=2\sqrt{5}$，AB边上的中线$CD=\sqrt{17}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得cosC+cosAcosB=sinAsinB，从而sinAsinB=2cosAsinB，进而sinA=2cosA，由此能求出tanA．
（Ⅱ）求出$cosA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，由余弦定理求出c，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由已知得cosC+cosAcosB
=cos[π-（A+B）]+cosAcosB
=-cos（A+B）+cosAcosB=sinAsinB，
所以sinAsinB=2cosAsinB，
因为在△ABC中，sinB≠0，
所以sinA=2cosA，
则tanA=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$cosA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
在△ACD中，$C{D^2}={b^2}+{（{\frac{c}{2}}）^2}-2\;•\;b\;•\;\frac{c}{2}\;•\;cosA$，
代入条件得c²-8c+12=0，解得c=2或6，
当c=2时，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=4$，
当c=6时，S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=12．

点评 本题考查角的正切值、余弦定理、三角形面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．