Question

7．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$，{a_n}为等比数列，a_n＞0且a₁₀₀₉=1，则f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₂₀₁₇）=（　　）

• A． 2007
• B． $\frac{1}{1009}$
• C． 1
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 根据等比数列的性质得和f（x）+f（-x）=1，即可求出答案．

解答 解∵$f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}$，
∴$f（-x）+f（x）=\frac{e^x}{{{e^x}+1}}+\frac{{{e^{-x}}}}{{{e^{-x}}+1}}=1$，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴${a_1}{a_{2017}}={a_2}{a_{2016}}=…={a_{1008}}{a_{1010}}=a_{1009}^2=1$，
∴设S₂₀₁₇=f（lna₁）+f（lna₂）+…+f（lna₂₀₁₇）①，
∵S₂₀₁₇=f（lna₂₀₁₇）+f（lna₂₀₁₆）+…+f（lna₁）②，
①+②得2S₂₀₁₇=2017，
∴${S_{2017}}=\frac{2017}{2}$，
故选：D．

点评 考查学生利用等比数列性质的能力，以及指数对数函数的综合运用能力．