Question

17．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$，其中t为参数，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，再以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ+2sinθ=ρ，其中ρ≥0，θ∈R，直线l与曲线C交于P，Q两点．
（1）求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（2）已知点A（0，1），且|AP|=2|AQ|，求直线l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）联立l与C的方程得：x²-2tanα•x-2=0，利用向量数量积公式，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（2）已知点A（0，1），且|AP|=2|AQ|，利用参数的几何意义，即可求直线l的普通方程．

解答 解：（1）直线l的普通方程为y=tanα•x+1，曲线C的极坐标方程可化为x²=2y，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立l与C的方程得：x²-2tanα•x-2=0，
∴x₁x₂=-2，则${y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{2}\;•\;\frac{x_2^2}{2}=\frac{{{{（{x_1}{x_2}）}^2}}}{4}=1$，
∴$\overrightarrow{OP}\;•\;\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-1$．
（2）将直线l的参数方程代入抛物线C的普通方程，
得cos²α•t²-2sinα•t-2=0，
设交点P，Q对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=\frac{2sinα}{{{{cos}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{2}{{{{cos}^2}α}}$，
由|AP|=2|AQ|得，t₁=-2t₂，
联立解得${tan^2}α=\frac{1}{4}$，又$α∈（{0，\;\;\frac{π}{2}}）$，所以$tanα=\frac{1}{2}$．
直线l的普通方程为$y=\frac{1}{2}x+1$．（或x-2y+2=0）

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查向量的数量积公式的运用，属于中档题．