Question

7．设x．y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3≤0}\\{2x-2y-1≤0}\\{x-a≥0}\end{array}\right.$，若$\frac{x-y}{x+y}$的最大值为2，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 分别作出不等式2x+y-3≤0和2x-2y-1≤0的公共区域，求得交点，确定a的范围，作出不等式组的可行域，求得交点A，B的坐标，可得OA，OB的斜率，可得$\frac{y}{x}$的范围，由$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$，代入OA，OB的斜率，解方程可得a的值，检验即可得到a的值．

解答 解：分别作出直线2x+y-3=0和直线2x-2y-1=0，
可得不等式2x+y-3≤0和2x-2y-1≤0的公共区域，
求得交点为（$\frac{7}{6}$，$\frac{2}{3}$），由题意可得a＜$\frac{7}{6}$，
作出不等式组的可行域，如右图．
求得A（a，3-2a），B（a，$\frac{2a-1}{2}$），
则$\frac{y}{x}$表示可行域内的点与原点的斜率，
可得范围为[k_OB，k_OA]，
即为[$\frac{2a-1}{2a}$，$\frac{3-2a}{a}$]．
由$\frac{x-y}{x+y}$的最大值为2，
又$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$，
由图象可得k_OB＜0，k_OA＞0，
由-1+$\frac{2}{1+\frac{2a-1}{2a}}$=2，解得a=$\frac{3}{8}$＜$\frac{7}{6}$，成立；
由-1+$\frac{2}{1+\frac{3-2a}{a}}$=2，解得a=$\frac{9}{5}$＞$\frac{7}{6}$，不成立．
综上可得a=$\frac{3}{8}$．
故选：C．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．