Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{a}{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• D． y=±$\sqrt{3}$x

Answer 1

分析 根据抛物线的焦点坐标，得到双曲线的右焦点为F（4，0），得a²+b²=16，结合双曲线的离心率为2解出a、b之值，即可算出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵抛物线y²=16x的焦点为F（4，0），
∴双曲线双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（4，0），
可得a²+b²=c²=16，
又∵双曲线的离心率为2，
∴$\frac{c}{a}$=2，得a=$\frac{1}{2}$c=2，从而得出b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即y=±$\sqrt{3}$x．
故选：D．

点评 本题给出双曲线与已知抛物线有相同焦点，在已知双曲线的离心率的情况下求其渐近线方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．