Question

18．在数列{a_n}中，若a_n²-a²_n+1=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．
其中真命题的序号为①②③（将所有真命题的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 ①利用“等方差数列”的定义，可知{a_n+1²-a_n²=-p，再利用等差数列的定义可判断{a_n²}是等差数列，即①正确；
②由（-1）²ⁿ-（-1）^2（n+1）=0可判断出{（-1）ⁿ}是等方差数列，即②正确；
③若{a_n}是等方差数列，利用累加法可判断出数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）是等方差数列，即③正确．

解答 解：对于①，因为a_n²-a²_n+1=p，所以a_n+1²-a_n²=-p，于是数列{a_n²}为等差数列，故①正确，
对于②，因为（-1）²ⁿ-（-1）^2（n+1）=0为常数，于是数列{（-1）ⁿ}是等方差数列，故②正确；
对于③，因为${{a}_{kn}}^{2}$-${{a}_{kn+k}}^{2}$=（${{a}_{kn}}^{2}$-${{a}_{kn+1}}^{2}$）+（${{a}_{kn+1}}^{2}$-${{a}_{kn+2}}^{2}$）+（${{a}_{kn+2}}^{2}$-${{a}_{kn+3}}^{2}$）+…+（${{a}_{kn+k-1}}^{2}$-${{a}_{kn+k}}^{2}$）=kp，则{a_kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查对新定义“等方差数列”的理解与应用，属于中档题．