Question

6．已知函数f（x）=4x+ax²-$\frac{2}{3}$x³（x∈R）
（1）当a=1时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≤x-$\frac{2}{x}$在[1，+∞）恒成立令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=4x+x²-$\frac{2}{3}$x³，
f′（x）=4+2x-2x²，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，2）递增，在（2，+∞）递减；
（2）f′（x）=4+2ax-2x²，
若f（x）在[1，+∞）递减，
则2ax≤2x²-4即a≤x-$\frac{2}{x}$在[1，+∞）恒成立，
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，+∞），
则g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
则g（x）在[1，+∞）递增，
g（x）≥g（1）=-1，
故a≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．