Question

17．在平面直角坐标系xOy中，C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（Ⅰ）将C₂的方程化为普通方程，并说明C₂是哪种曲线．
（Ⅱ）C₁与C₂有两个公共点A，B，定点P的极坐标（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由C₂的极坐标方程能将C₂的方程化为普通方程，并能说明C₂是哪种曲线．
（Ⅱ）将C₁的参数方程代入x²+y²-2x-3=0中，得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．由韦达定理能求出定点P到A，B两点的距离之积．

解答 解：（Ⅰ）C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化为普通方程：x²+y²-2x-3=0，
即：（x-1）²+y²=4．
故C₂是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线C₁上，
将C₁的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入x²+y²-2x-3=0中，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²+（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）-3=0，
化简得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．
设两根分别为t₁，t₂，
由韦达定理知：$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
所以AB的长|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+12}=\sqrt{14}$，
定点P到A，B两点的距离之积|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查圆、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、定点到两点距离之积、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．