Question

6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$）
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

Answer 1

分析 （1）由题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归方程的系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（2）由（1）求出的线性回归方程计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，
再计算生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少．

解答 解：（1）由对照数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5；
且$\sum_{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，
∴回归方程的系数为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（2）由（1）求出的线性回归方程，计算x=100时
$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.35=70.35，
∴90-70.35=19.65（吨），
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了19.65吨标准煤．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．