Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，点D在边AB上，且$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$=0，则线段CD的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$得出a²+b²=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范围，根据面积公式得出CD关于ab的表达式，从而得出CD的最值．

解答 解：$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=abcos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}ab$，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3}$，
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}+{\overrightarrow{CA}}^{2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=3，即a²+b²=3+ab，
又a²+b²≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3．
∵$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$=0，∴CD⊥AB，
∴S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}$×CD×c，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab=$\sqrt{3}$CD，
∴CD=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题．