Question

13．已知函数h（x）=x²+2x+alnx（a∈R），f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（1）讨论函数y=h（x）的单调性；
（2）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）-x-2且函数g（x）有且只有一个零点，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a，判断h′（x）的符号，得出h（x）的单调性；
（2）利用函数图象计算出a，根据导数判断g（x）的单调性，求出g（x）在（e^-2，e）上的最大值即可得出m的范围．

解答 解：（1）由题意可知x＞0，h′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+a}{x}$，
令m（x）=2x²+2x+a，则m（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m（x）＞m（0）=a，
∴当a≥0时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令m（x）=0得x=$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，
∴当0＜x＜$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$时，m（x）＜0，当x＞$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$时，m（x）＞0，
∴当0＜x＜$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$时，h′（x）＜0，当x＞$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，+∞）上单调递增．
综上，当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，h（x）在（0，$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{1-2a}-1}{2}$，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=（x²-2x）lnx+ax²-x，
∵g（x）有且只有一个零点，∴（x²-2x）lnx=x-ax²只有一解，
即lnx=$\frac{x-a{x}^{2}}{{x}^{2}-2x}$有一解，
作出y=lnx与y=$\frac{x-a{x}^{2}}{{x}^{2}-2x}$=-a+$\frac{1-2a}{x-2}$的函数图象，

若1-2a＞0即a$＜\frac{1}{2}$时，两函数有两个交点，不符合题意，
当1-2a＜0即a$＞\frac{1}{2}$时，若两函数只有1个交点，则y=lnx与y=-a+$\frac{1-2a}{x-2}$有一条公共切线，
设切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}=-\frac{1-2a}{（{x}_{0}-2）^{2}}}\\{ln{x}_{0}=-a+\frac{1-2a}{{x}_{0}-2}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，a=1．
∴g（x）=（x²-2x）lnx+x²-x，g′（x）=（2x-2）lnx+x-2+2x-1=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
令g′（x）=0得x=1或x=e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，
∴当0＜x＜e${\;}^{-\frac{3}{2}}$或x＞1时，g′（x）＞0，当e${\;}^{-\frac{3}{2}}$＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）上单调递增，在（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∵e^-2＜e${\;}^{-\frac{3}{2}}$＜1＜e，
∴g（x）在（e^-2，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）上单调递增，在（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．
∵g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，g（1）=0，
令m（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，则m（x）在（0，2）上单调递增，
∴m（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞m（0）=0，即g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞0，∴g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）＞g（1），
∴当e^-2＜x＜e时，g（x）≤-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
∴m≥-$\frac{1}{2}$e^-3+2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值得计算，属于中档题．