Question

7．已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圆心在直线y=-x-4上，则圆M的标准方程为（x+3）²+（y+1）²=1．

Answer 1

分析 首先根据题意设圆心坐标为（a，-a-4），再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程．

解答 解：∵圆心在直线y=-x-4上，
∴设圆心坐标为（a，-a-4），
∵圆M与直线3x-4y=0相切
∴圆心（a，-a-4）到两直线3x-4y=0的距离为：$\frac{|3a-4（-a-4）|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=r，即$\frac{|7a+16|}{5}$=r ①
同理圆心（a，-a-4）到两直线3x-4y+10=0的距离为：$\frac{|3a-4（-a-4）+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=r，即$\frac{|7a+26|}{5}$=r  ②
联立①②得，a=-3，r²=1．
∴圆M的方程为：（x+3）²+（y+1）²=1．
故答案为：（x+3）²+（y+1）²=1．

点评 本题考查了圆的标准方程，直线与圆相切以及点到直线的距离公式，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．