Question

19．给出下列四个命题：①“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题；②已知在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要条件；③若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3a-1}）x+4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（{x＜1}）\\（{x≥1}）\end{array}$，对任意的x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，则实数a的取值范围是$（{\frac{1}{7}，1}）$；④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为$1-\frac{π}{4}$．其中正确的命题的序号是②④（请把正确命题的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 ①根据逆否命题的等价性进行转化证明即可．
②根据大角对大边以及正弦定理进行证明．
③根据分段函数单调性的性质进行证明．
④根据几何概型的概率公式进行证明．

解答 解：①“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”的等价命题为x=2且y=3时，x+y=5，则等价命题为真命题，则原命题为真命题，故①错误，
②已知在△ABC中，“A＜B”等价为a＜b，根据正弦定理得“sinA＜sinB”成立，即，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要条件；故②正确，
③若对任意的x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，则函数f（x）为减函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{3a-1+4a≥lo{g}_{a}1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{0＜a＜1}\\{a≥\frac{1}{7}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，故③错误，
④由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$的区域为边长为2的正方形，面积为4，

∵x²+y²≥1的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4-π，
∴在区间[-1，1]上任取两个实数x，y，则满足x²+y²≥1的概率为$\frac{4-π}{4}$=$1-\frac{π}{4}$．故④正确．
故正确的答案是②④，
故答案为：②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．