Question

14．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧按AA₁⊥底面ABC，且四边形AA₁B₁B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA₁，A₁B₁上
（Ⅰ）若点F为棱A₁B₁的中点，证明：平面ABC₁⊥平面CMF
（Ⅱ）若AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，且CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AA₁⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC₁⊥平面CMF．
（Ⅱ）记线段A₁B₁的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AA₁B₁B是边长为2的正方形，∴AA₁⊥AB，
又在正方形ABB₁A₁中，F，M分别是线段A₁B₁，AB的中点，
∴FM∥A₁A，∴AB⊥FM，
在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，
∴CM⊥AB，
又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，
又AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面CMF．
解：（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=$\sqrt{2}$，且CM=1，
记线段A₁B₁的中点为N，连结MN，
由（Ⅰ）知MC、MA、MN两两互相垂直，
以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F（0，$\frac{1}{4}$，2），A（0，1，0），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，2），
设平面CEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（5，4，2），
设直线AC₁与平面CEF所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|5-4+4|}{\sqrt{6}•\sqrt{45}}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$，
∴直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．