Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-na_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a_n}的通项公式成立．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过n=1，2，3，4，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄；然后猜想a_n的表达式．
（2）利用数学归纳法的证题步骤，证明猜想的正确性即可．

解答 解：（1）依题设S_n=1-na_n可得a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$，a₃=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，a₄=$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$；猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立．   
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，
即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$．  
那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1． 又S_k=1-ka_k=$\frac{k}{k+1}$，
所以$\frac{k}{k+1}$+a_k+1=1-（k+1）a_k+1，
从而a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{1}{（k+1）（k+1+1）}$
即n=k+1时，猜想也成立．       
故由①和②，可知猜想成立．

点评 本题考查数列的应用，数学归纳法的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力．