Question

19．函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（10-ax）$，已知f（3）=-2．
（1）求$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（10-ax）$的定义域，判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若不等式$f（x）≥{（\frac{1}{2}）^x}+m$对于x∈[3，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（3）=-2．求解出a的值，即可求解定义域，根据复合函数的单调性：同增异减可得函数f（x）的单调性
（2）分离参数法，把m分离出来，转化为一个新函数，利用其单调性求解即可．

解答 解：函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（10-ax）$，
∵f（3）=-2．即4=10-3a，
可得：a=2．
∴函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（10-2x）$
其定义域满足：10-2x＞0，
得：x＜5，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，5）．
令10-2x=u，（u＞0）则f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$，
函数u是一次函数，k=-2＜0，在其定义域内是减函数，
f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$的底数为$\frac{1}{2}$，在其定义域内也是减函数，
根据复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）是增函数．
即函数f（x）在定义域内是增函数．
（2）∵不等式$f（x）≥{（\frac{1}{2}）^x}+m$对于x∈[3，4]恒成立，
∴$m≤{log_{\frac{1}{2}}}（10-2x）-{（\frac{1}{2}）^x}，x∈[3，4]$
而函数$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}（10-2x）-{（\frac{1}{2}）^x}$在区间[3，4]上是增函数．
所以，g（x）在区间[3，4]上的最小值是$g（3）={log_{\frac{1}{2}}}（10-2×3）-{（\frac{1}{2}）^3}=-\frac{17}{8}$
即$m≤-\frac{17}{8}$，实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{17}{8}]$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数单调性的判断和恒成立问题利用单调性解决，属于中档题．