Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，x＞0时，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，则不等式xf（x）＜0的解集（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵x＞0时，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-g（x），
g（x）在（-∞，0）递减，
∴g（x）是奇函数，
g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
∴0＜x＜2时，g（x）＞0，x＞2时，g（x）＜0，
根据函数的奇偶性，-2＜x＜0时，g（x）＜0，x＜-2时，g（x）＞0，
xf（x）＜0，即x²g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＞2或-2＜x＜0，
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考察函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，是一道中档题．