Question

15．函数$f（x）=\frac{3}{{{9^x}+3}}$
（1）求f（x）+f（1-x）的值．
（2）设$S=f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{2016}{2017}）$，求S的值．

Answer 1

分析 （1）由函数$f（x）=\frac{3}{{{9^x}+3}}$，能求出f（x）+f（1-x）的值．
（2）由f（x）+f（1-x）=1，利用倒序相加法能求出S．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵函数$f（x）=\frac{3}{{{9^x}+3}}$，
∴$f（x）+f（1-x）=\frac{3}{{{9^x}+3}}+\frac{3}{{{9^{1-x}}+3}}=\frac{3}{{{9^x}+3}}+\frac{{3×{9^x}}}{{9+3×{9^x}}}=\frac{3}{{{9^x}+3}}+\frac{9^x}{{3+{9^x}}}=1$．
（2）∵f（x）+f（1-x）=1，
∴$S=f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{2016}{2017}）$
S=f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+$f（\frac{2014}{2017}）$+…+f（$\frac{1}{2017}$），
∴2S=[f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）]+[f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）]+…+[f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{1}{2017}$）]
=2016×1=2016，
∴S=1008．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．