Question

3．已知函数f（x）=-x²+2xtanθ+1，$x∈[-\sqrt{3}，1]$，其中$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$．
（1）当$θ=-\frac{π}{4}$时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间$[-\sqrt{3}，1]$上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，利用二次函数的性质求解最小值以及最大值即可．
（2）求出二次函数的对称轴，通过已知条件列出不等式转化求解即可．

解答 解：（1）当$θ=-\frac{π}{4}$时，f（x）=-x²-2x+1=-（x+1）²+2，$x∈[-\sqrt{3}，1]$，
所以当x=-1时，f（x）的最大值为2；
当x=1时，f（x）的最小值为-2．
（2）函数f（x）=-（x-tanθ）²+1+tan²θ的图象的对称轴为x=tanθ，
要使y=f（x）在区间$[-\sqrt{3}，1]$上是单调函数，必须有$tanθ≤-\sqrt{3}$或tanθ≥1．
又$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以θ的取值范围是$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]∪[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，三角函数线的应用，考查计算能力．