Question

13．已知函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0），且f（a²-4）=f（2a-8），则$\frac{f（n）-4a}{n+1}（n∈{N^+}）$的最小值为（　　）

• A． $\frac{37}{4}$
• B． $\frac{35}{8}$
• C． $\frac{28}{3}$
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a的值，取负的，化简可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n为正整数，计算即可得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0）的对称轴为x=-$\frac{a+8}{2}$，
由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），
解得a=1或a=-4，
由a＜0，可得a=-4，f（x）=x²+4x，即有f（n）=n²+4n，
则$\frac{f（n）-4a}{n+1}（n∈{N^+}）$=$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）+13}{n+1}$
=（n+1）+$\frac{13}{n+1}$+2≥2$\sqrt{（n+1）•\frac{13}{n+1}}$+2=2$\sqrt{13}$+1，
当且仅当n+1=$\frac{13}{n+1}$即n=$\sqrt{13}$-1时取等号，
但n为正整数，且$\sqrt{13}$-1∈（2，3），由n=2时，$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{28}{3}$；
n=3时，$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{37}{4}$＜$\frac{28}{3}$．
故当n=3时原式取最小值$\frac{37}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查二次函数解析式的求法，注意运用对称性，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属中档题．