Question

11．已知扇形OAB的周长是60cm，
（Ⅰ）若其面积是20cm²，求扇形OAB的圆心角的弧度数；
（Ⅱ）求扇形OAB的最大面积及此时弦长AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．
（Ⅱ）扇形周长为60cm，设弧长为l，半径为r，由已知l+2r=60，表示出扇形面积，利用二次函数求解最大面积，求得此时r，圆心角α的值，即可得解弦长．

解答 解：（Ⅰ）设扇形的弧长为：l，半径为r，则2r+l=60，
∵S_扇形=$\frac{1}{2}$lr=20，
解得：r=20，l=2，或r=10，l=4，
∴r=20，l=2时，扇形的圆心角的弧度数是：$\frac{1}{10}$．
r=10，l=4时，扇形的圆心角的弧度数是：$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）设弧长为l，半径为r，由已知l+2r=60，
所以l=60-2r，|α|=$\frac{l}{r}$=$\frac{60-2r}{r}$，
从而S=$\frac{1}{2}$|α|r²=$\frac{1}{2}$•$\frac{60-2r}{r}$•r²=-r²+30r=-（r-15）²+225，
当r=15时，S最大值为225，这时圆心角α=$\frac{l}{r}$=$\frac{60-2r}{r}$=2，可得：AB=2×15×sin1=30sin1．

点评 本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力和数形结合思想，此题属于基础题型．