Question

20．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：
①常数函数是“关于t函数”；
②正比例函数必是一个“关于t函数”；
③“关于2函数”至少有一个零点；
④f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$是一个“关于t函数”．
其中正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．

解答 解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，
即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），
∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，
②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；
③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），
当函数f（x）不恒为0时，有$\frac{f（2+x）}{f（x）}$=2＞0，
故f（x+2）与f（x）同号．
∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，
④对于f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x设存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t+x=t（$\frac{1}{2}$）^x，也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t（$\frac{1}{2}$）^x=t（$\frac{1}{2}$）^x，
也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t=t，此方程有解，故④正确．
故正确是①④，
故答案为①④．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．