Question

14．如图，斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为$\sqrt{3}$的正方形，侧面A₁ABB₁⊥底面ABCD，AA₁=2，∠B₁BA=30°．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（2）棱AA₁上是否存在一点M，使平面MBC₁与平面BDC₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{1}{8}$，若存在，求比值$\frac{AM}{{A{A_1}}}$，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AB₁，AB₁⊥BD，从而AC⊥BD，进而BD⊥平面BDC，由此能证明平面AB₁C⊥平面BDC₁．
（2）分别以AB，AD，AB₁x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 证明：（1）设AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，∠B₁BA=30°，△ABB₁中，AB₁=$\sqrt{3+4-2×\sqrt{3}×2×cos30°}$=1，
∴$A{B}^{2}+A{{B}_{1}}^{2}$=BB₁²，∴AB⊥AB₁，
∵面AA₁B₁B⊥面ABCD，
∴AB₁⊥平面ABCD，∴AB₁⊥BD，
∵斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为$\sqrt{3}$的正方形，
∴AC⊥BD，
∵AC∩AB₁=A，∴BD⊥平面BDC，
∵BD?平面ABCD，∴平面AB₁C⊥平面BDC₁．
解：（2）分别以AB，AD，AB₁x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（-$\sqrt{3}，0，1$），B（$\sqrt{3}，0，0$），
D（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，1），
设棱AA₁存在一点M，使平面MBC₁与平面BDC₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{1}{8}$，且$\frac{AM}{A{A}_{1}}$=a，
则M（-$\sqrt{3}a$，0，a），$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{3}a-\sqrt{3}$，0，a），
设平面MBC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{3}a-\sqrt{3}）x+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（a，-1，$\sqrt{3}a+\sqrt{3}$），
∵AC⊥平面BDC₁，C（1，1，0），
∴平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+1+3（a+1）^{2}}}$=$\frac{1}{8}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．