Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=a，${a_2}={a^2}$，a_n+2=a_n+1-a_n，S₅₆=6，则a=-3或2．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），得a_n+6=a_n+5-a_n+4=a_n+4-a_n+3-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n-a_n+1）=a_n，所以6为数列{a_n}的周期，可得S₆=0．于是S₅₆=S₅₄+a+a²=a+a²=6，解得a．

解答 解：由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），得
a_n+6=a_n+5-a_n+4=a_n+4-a_n+3-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n-a_n+1）=a_n，
所以6为数列{a_n}的周期，
又a₃=a₂-a₁=a²-a，a₄=a₃-a₂=-a，a₅=a₄-a₃=-a²，a₆=a₅-a₄=a-a²，
∴S₆=0．
∵S₅₆=6，∴S₅₆=S₅₄+a+a²=a+a²=6，解得a=-3或2．
故答案为：-3或2．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．