Question

8．已知函数$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（　　）
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）既有最大值又有最小值；
③函数f（x）的定义域为R，且其图象有对称轴；
④对于任意的x∈（-1，0），f'（x）＜0（f'（x）是函数f（x）的导函数）．

• A． ②③
• B． ①③
• C． ②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 将函数$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$=$\frac{sinπx}{{（x}^{2}+1）（（x-1）^{2}+1}）$，对以下各选项一次判断即可．

解答 解：由函数$f（x）=\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$=$\frac{sinπx}{{（x}^{2}+1）（（x-1）^{2}+1}）$
对于①函数f（x）显然不是周期函数．
对于②，因为sinπx有最值，函数f（x）的分母恒大于0，故f（x）有最大值又有最小值；②正确．
对于③，分母恒大于0，函数f（x）的定义域为R，sinπx是周期函数，其图象有对称轴，③正确．
对于④，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{16}{13}$，f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{81\sqrt{3}}{500}$，∴f（-$\frac{1}{2}$）＜f（-$\frac{1}{3}$），故④不正确，
故选A．

点评 本题考查命题的真假判断，考查三角函数知识，属于中档题．