Question

20．设函数f（x）=x²-xlnx-2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间[a，b]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据f（x）的单调性求出f（x）在[a，b]的值域，令$F（x）=\frac{f（x）}{x+2}=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}（x≥\frac{1}{2}）$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）令g（x）=f'（x）=2x-lnx-1（x＞0），
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
所以g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$单调递减，在$（\frac{1}{2}，+∞）$单调递增，
则g（x）的最小值为$g（\frac{1}{2}）=ln2＞0$．
所以$f'（x）=g（x）≥g（\frac{1}{2}）＞0$，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间$[a，b]⊆[\frac{1}{2}，+∞）$递增，
∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]
所以$f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），\frac{1}{2}≤a＜b$．
则f（x）=k（x+2）在$[\frac{1}{2}，+∞）$上至少有两个不同的正根，
$k=\frac{f（x）}{x+2}$，令$F（x）=\frac{f（x）}{x+2}=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}（x≥\frac{1}{2}）$
求导，得$F'（x）=\frac{{{x^2}+3x-2lnx-4}}{{{{（x+2）}^2}}}（x≥\frac{1}{2}）$，
令$G（x）={x^2}+3x-2lnx-4（x≥\frac{1}{2}）$
则$G'（x）=2x+3-\frac{2}{x}=\frac{（2x-1）（x+2）}{x}≥0$．
所以G（x）在$[\frac{1}{2}，+∞）$递增，
$G（\frac{1}{2}）＜0，G（1）=0$．
当$x∈[\frac{1}{2}，1）$时，G（x）＜0∴F'（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，G（x）＞0∴F'（x）＞0
所以F（x）在$[\frac{1}{2}，1）$上递减，在（1，+∞）上递增，
故$F（1）＜k≤F（\frac{1}{2}）∴k∈（1，\frac{9+2ln2}{10}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．