Question

15．已知函数f（x）=（x-2）lnx-ax+1．
（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若存在唯一整数x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为$lnx+1-\frac{2}{x}≥a$在（1，+∞）上恒成立即可，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）令g（x）=（x-2）lnx，x＞0，h（x）=ax-1，根据函数的单调性结合函数的图象求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=lnx+1-\frac{2}{x}-a$，
要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，
即$lnx+1-\frac{2}{x}≥a$在（1，+∞）上恒成立即可，
易知$y=lnx+1-\frac{2}{x}$在（1，+∞）上单调递增，
所以只需a≤y_min即可，
易知当x=1时，y取最小值，${y_{min}}=ln1+1-\frac{2}{1}=-1$，
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）不等式f（x₀）＜0即（x₀-2）lnx₀＜ax₀-1，
令g（x）=（x-2）lnx，x＞0，h（x）=ax-1，
则$g'（x）=lnx+1-\frac{2}{x}$，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g'（1）=-1＜0，g'（2）=ln2＞0，
∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，
当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；
当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（m）．g（1）=g（2）=0，
画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，

h（x）的图象是过定点C（0，-1）的直线，
由图可知若存在唯一整数x₀，使得f（x₀）＜0成立，
则需k_BC＜a≤min{k_AC，k_DC}，
而${k_{AC}}-{k_{DC}}=1-\frac{ln3+1}{3}=\frac{2-ln3}{3}＞0$，∴k_AC＞k_DC．
∵${k_{BC}}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}＜a≤\frac{ln3+1}{3}$．
于是实数a的取值范围是$（{\frac{1}{2}，\frac{ln3+1}{3}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．