Question

4．设函数f（x）=-x³+x-1．
（Ⅰ）若y=-2x+b为f（x）的一条切线，求b值．
（Ⅱ）若f（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过y=-2x+b为f（x）的一条切线，利用斜率，求解b值．
（Ⅱ）求出函数的极值点，列表推出导函数的符号，然后函数的极值，转化求解实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=-x³+x-1，f′（x）=-3x²+1，
设切点为（x₀，y₀）．故-3x₀²+1=-2，∴x₀=±1所以切点为（1，-1），（-1，-1），
代入y=-2x+b，得b=1或-3．…（4分）
（Ⅱ）令g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g′（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）．
当t变化时g′（t），g（t）的变化情况如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g′（t）	+	0	-
g（t）	递增	极大值1-m	递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m．
f（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0，
所以m的取值范围为m＞1．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．