Question

6．已知四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AB=2，BC=CD=1，BC⊥AB，侧面SAD是以∠ASD为直角的等腰三角形，且侧面SAD与底面ABCD垂直．
（I）求证：SA⊥BD；
（II）若点E为侧棱SB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AD-S的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AD⊥DB，再由面面垂直的性质可得BD⊥平面SAD，进一步得到SA⊥BD；
（Ⅱ）过D点在平面SAD内作AD的垂线，可得该垂线与底面ABCD垂直，以这条垂线为z轴，DA、DB分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系．求出所用点的坐标，设$\overrightarrow{SE}=λ\overrightarrow{SB}$，把E的坐标用含有λ的代数式表示，再由二面角E-AD-S的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$求得λ值得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，则$AD=BD=\sqrt{2}$，又AB=2，∴AD⊥BD，
又侧面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面面ABCD=AD，∴BD⊥平面SAD，
∵SA?平面SAD，∴SA⊥BD；
（Ⅱ）解：过D点在平面SAD内作AD的垂线，∵侧面SAD垂直底面ABCD，∴该垂线与底面ABCD垂直，
以这条垂线为z轴，DA、DB分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系．
∵AB=2，BC=CD=1，
∴$A（{\sqrt{2}，0，0}）$，$B（{0，\sqrt{2}，0}）$，$S（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，D（0，0，0），
由（I）可知，平面SAD的法向量$\overrightarrow m=（{0，1，0}）$，
设平面ADE的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，$\overrightarrow{SB}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
设$\overrightarrow{SE}=λ\overrightarrow{SB}$，可得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）$），$\overrightarrow{DA}=（{\sqrt{2}，0，0}）$，$\overrightarrow{DE}=（{（{1-λ}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}λ，（{1-λ}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）x+\sqrt{2}λy+\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}=（0，1-λ，-2λ）$，
由二面角E-AD-S的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1-λ}{{\sqrt{{{（{1-λ}）}^2}+{{（{-2λ}）}^2}}}}=\frac{1-λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，即E为SB的中点．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．