Question

18．已知P是圆C：x²+y²=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP′}$，当P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆C：x²+y²=4上，由此能求出曲线E的方程．
（II）设直线l：y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（I）设M（x，y），
∵P是圆C：x²+y²=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，
点M满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP′}$，当P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E．
∴P（x，2y）在圆C：x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
即曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，…（4分）
（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，
∴直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，
∴（1+4k²）x²+16kx+12=0．…（6分）
由△=（16k）²-4（1+4k²）-12＞0，得k²＞$\frac{3}{4}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，…．①，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…②．…（8分）
又由$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，得${x}_{1}=\frac{3}{4}{x}_{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{7}{4}{x}_{2}$=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{2}=-\frac{64k}{7（1+4{k}^{2}）}$，
$\frac{3}{4}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{6{4}^{2}{k}^{2}}{{7}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
256k²=49+196k²，
解得k=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$（满足k²＞$\frac{3}{4}$），
所以直线l的斜率为k=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．
所以直线l的方程为y=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$x+2．…（12分）

点评 本题考查曲线方程、直线方程的求法，考查椭圆、射影、圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．