Question

8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，则不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用导数研究其在R上的单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}{f}^{′}（x）-\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}f（x）}{（{e}^{\frac{x}{2}}）^{2}}$=$\frac{2{f}^{′}（x）-f（x）}{2{e}^{\frac{x}{2}}}$＞0，
∴函数g（x）在R上单调递增，
而不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$化为：$\frac{f（2x-1）}{{e}^{\frac{2x-1}{2}}}$＞$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
∴2x-1＞x，解得x＞1，
∴不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．