Question

16．当a＞0，b＞0时，①（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）≥4；②a²+b²+2≥2a+2b；③$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$；④$\frac{2ab}{a+b}$≥$\sqrt{ab}$．
以上4个不等式恒成立的是①②③．（填序号）

Answer 1

分析 在①和④中，利用均值不等式求解；在②中，由（a-1）²+（b-1）²≥0，得到a²+b²+2≥2a+2b；在③中，利用作差法知$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$不恒成立．

解答 解：在①中，∵a＞0，b＞0，∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$时取等号，故①正确；
在②中，∵a＞0，b＞0，（a-1）²+（b-1）²≥0，
∴a²-2a+1+b²-2b+1≥0，
∴a²+b²+2-2a-2b≥0，
∴a²+b²+2≥2a+2b，故②正确；
在③中，∵a＞0，b＞0，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$，
当a≥b时，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{ab}$-2b≥0；
当a＜b时，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{ab}$-2a≥0，
故$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$恒成立，故③正确；
在④中，∵a＞0，b＞0，∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$．
当且仅当a=b时，取等号，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本题考查基本不等式的性质，涉及不等式的证明，关键是掌握不等式的基本性质、基本不等式的性质．