Question

3．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处的导数为0．
（1）求f（x）的解析式；       
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，得到方程求出a即可得到函数的解析式．
（2）求出切线的斜率，利用的旋律求解切线方程即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，可得f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a．
因为f（x）在x=3处的导数为0，所以f′（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0，
解得a=3，所以f（x）=2x³-12x²+18x+8．
（2）A点在f（x）上，由（1）可知f′（x）=6x²-24x+18，
f′（1）=6-24+18=0，所以切线方程为y=16．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法，导数的应用，考查计算能力．