【题目】已知点,直线,且点不在直线上.
(1)若点关于直线的对称点为,求点坐标;
(2)求证:点到直线的距离;
(3)当点在函数图像上时,(2)中的公式变为,
请参考该公式,求 的最小值.
【答案】(1) ; (2)见解析; (3).
【解析】
(1)把握住点关于直线的对称点的关键条件是垂直与平分,列出方程组求得结果;
(2)可以利用过点作直线的垂线,求两直线的交点即垂足,再用两点间距离公式求得结果,也可以用直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边长,求得结果;
(3)设出变量,利用式子,将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值问题,结合图形,求得结果.
(1)因为点P,Q关于直线对称,
所以
解得所以.
(2)证法一:设,根据定义,点P到直线的距离是点
P到直线的垂线段的长,如右图,设点P到直线的垂线为,
垂足为Q,由可知的斜率为,
所以的方程:.
与联立方程组解得交点,
所以
所以.
可证明,当时仍成立.
综上.
证法二:设,这时与轴、轴都相交,
过点P作轴的垂线,交于点;过点P作轴的垂线,交于点,
由得 ,
所以,== ,== ,
=×.
由三角形面积公式可知:·=·,
所以.
可证明,当或时仍成立.
综上.
(3)令,
,
则表示函数图象上的点到直线的距离,
表示函数图象上的点到直线的距离,
所以最小值为 .
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【题目】已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标(其中).
0 | 2 | 0 | 0 |
(Ⅰ) 请写出函数的最小正周期和解析式;
(Ⅱ) 求函数的单调递增区间;
(Ⅲ) 求函数在区间上的取值范围.
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【题目】如图,AB是的⊙O直径,CB与⊙O相切于B,E为线段CB上一点,连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点,连接DG交CB于点F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E四点共圆.
(Ⅱ)若F为EB的三等分点且靠近E,EG=1,GA=3,求线段CE的长.
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【题目】设函数f(x)= x3﹣(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
(1)cosα≠0是 的充分必要条件
(2)f(x)=|sinx|+|cosx|,则f(x)最小正周期是π
(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变
(4)设随机变量ζ服从正态分布N(0,1),若P(ζ>1)=p,则 .
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元;设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且满足函数关系:.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于该旅游商品(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大?
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