Question

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2$\sqrt{3}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圆半径为$\sqrt{3}$，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理结合R，化简已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=$\frac{1}{2}$，从而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤9，用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积的最大值．

解答 解：∵△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理，可得a=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，b=2RsinB=2$\sqrt{3}$sinB，
代入已知等式得 2$\sqrt{3}$sin²A-2$\sqrt{3}$sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB-2$\sqrt{3}$sin²B，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
由此可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
结合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2RsinC）²=a²+b²-9≥2ab-9，
∴ab≤9（当且仅当a=b时，取等号），
∵△ABC面积为S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴当且仅当a=b=3时，△ABC的面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题给出三角形的边角关系，求三角形面积的最大值，着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．