【题目】如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,E,F分别为AD,BC的中点,AE=EF,.将四边形ABFE沿EF折起,使平面ABFE⊥平面EFCD(如图2),G是BF的中点.
(1)证明:AC⊥EG;
(2)在线段BC上是否存在一点H,使得DH∥平面ABFE?若存在,求的值;若不存在,说明理由;
(3)求二面角D-AC-F的大小.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)推导出,
,
,从而
平面
,进而
,四边形
为正方形,
,由此能证明
平面
,从而
;(2)由
,
,
两两垂直,建立空间直角坐标系
,由此利用向量法能求出在线段
上存在一点
,使得
平面
,并能求出
的值;(3)求出平面
的法向理和平面
的法向量,利用向量法能求出二面角
的大小.
证明:(1)在图1中,,
可得△AEF为等腰直角三角形,AE⊥EF.
因为AD∥BC,所以EF⊥BF,EF⊥FC.
因为平面ABFE⊥平面EFCD,且两平面交于EF,CF平面CDEF,
所以CF⊥平面ABFE.
又EG平面ABFE,故CF⊥EG;
由G为中点,可知四边形AEFG为正方形,所以AF⊥EG;
又AF∩FC=F,所以EG⊥平面AFC.又AC平面AFC,所以AC⊥EG
(2)由(1)知:FE,FC,FB两两垂直,如图建立空间直角坐标系F-xyz,
设FE=1,则F(0,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),D(1,1,0).
设H是线段BC上一点,.
因此点.
由(1)知为平面ABFE的法向量,
=(0,2,0),
因为平面ABFE,所以
平面
,当且仅当
,
即,解得
.
.
(3)设A(1,0,1),E(1,0,0),G(0,0,1).
由(1)可得,是平面
的法向量,
.
,
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
由即
令x=1,则y=1,z=1.于是n=(1,1,1).
所以.
所以二面角D-AC-F的大小为90°
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面
,
,
分别是线段
,
的中点,
.
(I)在棱上找一点
,使得平面
平面
,请写出点的位置,并加以证明;
(Ⅱ)求点到平面
的距离.
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【题目】某市图书馆准备进一定量的书籍,由于不同年龄段对图书的种类需求不同,为了合理配备资源,现对该市看书人员随机抽取了一天60名读书者进行调查.将他们的年龄分成6段:,
后得到如图所示的频率分布直方图,问:
(1)在60名读书者中年龄分布在的人数;
(2)估计60名读书者年龄的平均数和中位数.
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005] | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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【题目】(本小题满分12分)如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
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【题目】(本题16分)某乡镇为了进行美丽乡村建设,规划在长为10千米的河流OC的一侧建一条观光带,观光带的前一部分为曲线段OAB,设曲线段OAB为函数,
(单位:千米)的图象,且曲线段的顶点为
;观光带的后一部分为线段BC,如图所示.
(1)求曲线段OABC对应的函数的解析式;
(2)若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ,绿化带由线段MQ,QP, PN构成,其中点P在线段BC上.当OM长为多少时,绿化带的总长度最长?
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【题目】2020年寒假是特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合计 | 120 |
(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为,求出
的分布列及期望值.
参考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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【题目】甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B.甲的不同的选法种数为15
C.已知乙同学选了物理,乙同学选技术的概率是
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是
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【题目】抖音是一款音乐创意短视频社交软件,是一个专注年轻人的15s音乐短视频社区. 用户可以通过这款软件选择歌曲,拍摄15s的音乐短视频,形成自己的作品. 2018年6月首批25家央企集体入驻抖音,一调研员在某单位随机抽取7人进行刷抖音时间的调查,若抽出的7人中有3人是抖音迷,4人为非抖音迷,现从这7人中随机抽取3人做进一步的详细登记.
(1)用X表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(2)设A为事件“抽取的3人中,既有是抖音迷的员工,也有非抖音迷的员工”,求事件A发生的概率.
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