Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．

（I）在棱上找一点，使得平面平面，请写出点的位置，并加以证明；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在棱上取其中点为，则平面平面，证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）在棱上取其中点为,利用线线平行证明面面平行.

（Ⅱ）证平面，点到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等积法求出距离.

（I）在棱上取其中点为，则平面平面，

证明如下：取中点，连接，，

在正方形中，是中点，是中点

∴，平面平面，

平面，

又∵是中点，是中点，

∴，同理可证平面，

且

∴平面平面．

（Ⅱ）由（I）问平面平面知平面，

∴到平面的距离等于到平面的距离，

∵平面，∴，

∵，在中，

∵平面，∴，

又∵，，

平面，平面，

∴平面，又∵平面，

∴，故．

∴，∴为直角三角形，

∵，

设到平面的距离为，则，

∴，∴到平面的距离．