Question

【题目】如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．
（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0， ），

则 ，

因为DE∥AC，所以∠E=α， ，

且 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值

（2）解：在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0， ），则 ，

解得 ，

三角形CBE中，有 ，解得 ，

则等边三角形的边长为

所以边长的最大值为 ，所以面积S2的最大值为

【解析】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0， ），表示出三角形DEF面积S1 ， 利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0， ），表示出三角形DEF面积S1 ， 利用辅助角公式求出最小值．
【考点精析】关于本题考查的基本不等式在最值问题中的应用，需要了解用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能得出正确答案．