【题目】设函数f(x)=x2+ax+b,a,b∈R.
(1)若a+b=3,当x∈[1,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数对(a,b),使得不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解,若存在,试求出所有满足条件的实数对(a,b);若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由f(x)≥0,即a(x﹣1)≥﹣(x2+3).
当x=1时,恒成立;
当x∈(1,2]时,得 ,
令t=x﹣1∈(0,1],
≤﹣7
综上:有a≥﹣7
(2)解:要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解,
必须满足 ,
即
由 ,
相加得:﹣4≤8+2a≤4﹣6≤a≤2
再由 ,
相加得:﹣4≤16+2a≤4﹣10≤a≤﹣6
可以解得:a=﹣6,代入不等式组,得到b=7.
检验a=﹣6,时,|f(x)|≤2在区间[1,5]上恒成立
所以满足题意的是实数对(a,b)只有一对:(﹣6,7)
【解析】(1)分离参数得到 ,结合基本不等式的性质得到a的范围即可;(2)根据二次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可.
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【题目】若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②对于定义域上的任意x1、x2 , 当x1≠x2时,恒有 <0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列三个函数中:(1)f(x)=
;(2)f(x)=x+1;(3)f(x)=
,能被称为“理想函数”的有(填相应的序号).
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【题目】已知函数
(1)当 时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当 时,判断方程
实根个数.
(3)若 时,不等式
恒成立,求实数 m 的取值范围.
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【题目】已知双曲线 的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A , 过A作圆的切线,斜率为 ,求双曲线的离心率.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2acsinB=
.
(1)求角C的大小:
(2)若bsin(π-A)=acosB,且b=,求△ABC的面积.
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【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
附表:
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【题目】设函数f(x)=lg(x2﹣3x)的定义域为集合A,函数 的定义域为集合B(其中a∈R,且a>0).
(1)当a=1时,求集合B;
(2)若A∩B≠,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=log2(x+2)与g(x)=(x﹣a)2+1,若对任意的x1∈[2,6),都存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是 .
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