Question

【题目】已知双曲线 的右焦点为F(c,0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】∵双曲线的渐近线为y＝± x，∴a＝b.

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.

∴a2＝b2＝2.

∴双曲线方程为

（2）

【解答】设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足 ·(－ )＝－1.

∴x0＝ y0.①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝ c，

∴x0＝c.

∴点A的坐标为（）.

代入双曲线方程得

即 b2c2－ a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，

∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得

c4－2a2c2＋a4＝0，

∴，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，

∵e＞1，∴e＝ ，∴双曲线的离心率为 .

【解析】(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y＝x ， 双曲线的渐近线为y＝± x ， 所以a＝b.求解即可；（2）因为是以原点O为圆心，c为半径作圆，可得圆的方程为x2＋y2＝c2 ， 该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为－ ，可设点A的坐标为(x0 ， y0)，直线AO的斜率满足 ·(－ )＝－1.代入圆的方程，化简即可。